线性代数的本质

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笔记📒来自3bule1brown的线性代数的本质系列视频,视频对线代的意义讲解的十分到位,之前刷过一次,但是由于刷完后就没有再去温习,就忘记了很多。这次二刷,希望能通过做笔记并加入一些自己的理解来将线代的意义理解透彻,并且能作为一个速查表供以后查阅。

1 向量(Vector)

1.1 向量的表示

向量可以想象成空间里带方向和长度的箭头,并且可以放在一个坐标里面,尾在原点上,头所在的坐标即可作为向量坐标。如图: 1.1.1

1.1.1 二维向量与二维坐标系 注意⚠️:向量并不限于二维的向量,向量的纬度可以三维甚至到无数个都可以,纬度仅仅取决于实际情况的需要。 1.1.2

1.1.2 三维向量与三维坐标系

1.2 向量的加法

  • 几何上可以表示为,在坐标系上顺次沿着相加的向量进行移动,原点指向最后所在的位置的向量即为最终的结果向量。这个过程可以想象为一个沿着向量箭头走路的过程。

    如1.2.1中,沿着黄色向量走后再沿着粉色向量走后,最终所在的位置即为紫色的结果向量。

  • 代数计算的方面来说,可以表示为几个向量对应的分量分别相加,最后的得到的向量值即为最终结果向量值。这个过程可以想象为分别对每个分量进行完整的平移后的结果。

    如1.2.1中,先沿着$x$轴走$1 + 3$的距离,再沿着$y$轴走$2 + (-1)$的距离。

1.2.1

1.2.1 向量加法的几何与代数方法表示 相应的向量的减法,其实和加法本质无异,只需要对减去的向量在几何上取反方向或者在代数上带入负号计算。

1.3 向量的数乘

  • 几何上可以表示为对于向量的缩放。

    如:$2\vec v$,$1.8\vec v$,$-3\vec v$,分别表示对原来的向量$\vec v$进行2倍,1.8倍,-3倍的缩放,仅仅为向量箭头长度或反向的变化。1.3.1中,向量就为2倍的缩放,且方向不反向。

  • 代数计算的方面,向量的数乘可以表示为对应向量中的分量分别与标量相乘。

    如在1.3.1中,直接对向量中的分量分别与标量2相乘。

1.3.1

1.3.1 向量数乘的几何与代数方法表示

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